ยินดีต้อนรับ สู่ Physics To You

โดย. พี่ต่อ

ตัวอย่างโจทย์

การแก้ปัญหาสมดุลของโมเมนต์

จากครั้งก่อนเราได้พิจารณาสมดุลเมื่อแรงทุกแรงผ่านจุดศูนย์กลางมวลไปแล้ว ทำให้เราใช้เพียงสมการ สมดุลของแรงตามแนว แกน x, y (2 มิติเท่านั้น) หากแรงไม่ผ่านจุดหมุน จะทำให้วัตถุ หมุน เราจึงต้องนำเรื่อง สมดุลของโมเมนต์ (Moment) เข้ามาเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาด้วย โดยมีสมการเข้ามาเกี่ยวข้องดังนี้

 

เพื่อให้เข้าใจความหมายของคำว่าสมดุลของโมเมนต์ และการใช้งานสมการข้องต้นขอให้ พิจารณารูปการเล่นไม้กระตกข้างล่างนี้ โดยมี z เป็นจุดหมุนของระบบจากนั้น เราจะมาสรุปแนวทางการแก้ปัญหาลักษณะแบบนี้ ต่อไป


กำหนดให้ คุณพ่อมีมวล mf,ลูกสาว มีมวล md,ไม้กระดกมีมวล M,แรง n ตรงตำแหน่งจุดหมุน z จะมีค่าเท่าใด หาได้โดยอาศัยสมการสมดุลของแรง ในแนวแกน y ต้องเป็นศูนย์ กำหนดให้แรงที่มีทิศขึ้นเป็นบวก จะหาแรง n ได้ดังนี้

จากค่า n ที่ได้นั้น เราใช้ความรู้เรื่อง สมดุลของแรงตามแนวแกน y ต้องเป็นศูนย์

ถึงแม้ว่าระบบข้างต้นจะอยู่ในสภาพสมดุลของแรง แต่เนื่องจาก มีแรงของระบบ คือ mf และ md ซึ่งแนวของแรงไม่ผ่านจุดหมุนทำให้ ว่าระบบอยู่ในสภาพสมดุลของโมเมนต์ด้วยหรือไม่ ซึงพิจารณาได้จากผลรวมของ moment รอบแกน z ต้องเท่ากับศูนย์ วัตถุจึงจะมีสภาพสมดุลที่ครบถ้วนคือ สมดุลของแรง และ สมดุลของโมเมนต์

พิจารณาสมดุลต่อการหมุนของระบบ ตามแนวแกน z โดยกำหนดให้ การหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จะได้ความสัมพันธ์ ของ ระยะทาง A และ B ได้ดังนี้

เนื่องจากน้ำหนักของ ไม้กระดก และแรง n ผ่านจุดหมุน ทำให้ moment ที่เกิดจากแรงทั้งสองนี้เป็นศูนย์ จึงไม่นำมาพิจารณา จากรูปข้างต้น จะเกิดสมดุลต่อการหมุน เมื่อระยะ A และ B มีความสัมพันธ์กันตามผลที่ได้ข้างต้น เราเรียกระบบว่าอยู่ในสภาวะสมดุลเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขดังนี้

1.สมดุลของแรง ซึ่งต้องมีเงื่อนไขครบตามชุดสมการที่ 1 คือ

2.สมดุลของโมเมนต์ ซึ่งต้องมีเงื่อนไขครบตามชุดสมการที่ 2 คือ

แต่หากโจทย์ที่เราพิจารณามีเพียงแค่ 2 มิติหรือในระนาบ xy เท่านั้นการพิจารณาสมดุลของแรงด้วยชุดสมการที่ 1 และชุดสมดุลของโมเมนต์ด้วยชุดสมการที่ 2 ก็จะคงเหลือเพียงสมดุลของแรงในแนวแกน x, สมดุลของแรงในแนวแกน y และ สมดุลต่อการหมุน ของ moment รอบแกน z หรือแค่ 3 สมการดังนี้

ดังนั้นการแก้ปัญญาเรื่องสมดุลในระนาบ xy จะต้องพิจารณาว่าเป็นไปตามเงื่อนไขทั้ง 3 สมการข้างบนนี้ เราจะนำสมการสมดุล 3 สมการนี้มาใช้แก้ปัญหาเป็นตัวอย่างดังรูปต่อไป

กำหนดให้ แผ่นไม้มีน้ำหนัก 200N ผู้ชายมีน้ำหนัก 600N อยากทราบว่าแรงที่กำแพงกระทำต่อแผ่นไม้เป็นเท่าใด ( กำหนดให้เป็น R ) เมื่ออยู่ในสภาพสมดุลเริ่มต้นด้วยการเขียน free body diagram เพื่อหาแรง R แต่เนื่องจากเราไม่รู้ว่าแรง R มีขนาดเท่าใด มีทิศทางอย่างไร สิ่งที่เรากำหนดขึ้นจึงเป็นเพียงการสมมุติเท่านั้น ดังรูปด้านล่างนี้

จาก free body diagram ทำให้เรามีตัวแปรที่ต้องการทราบค่า คือ R, T และรวมแล้วจำนวน 3 ตัว ดังนั้นเราจึงต้องการ 3 สมการจึงจะแก้ปัญหาข้อนี้ได้ดังนี้

โดยใช้ข้อตกลงสำหรับเครื่องหมาย บวก และ ลบ คือให้แรงที่มีทิศทางตามแนวแกน +x และทิศทางตามแนวแกน +y มีค่าเป็นบวก และกำหนดให้ moment ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นจึงทำการแตกแนวแรงไปตามทิศทางแกน x และ แกน y ได้ดังรูปข้างล่าง

สมการที่ 1 สมดุลของแรงตามแนวแกน x ได้สมการดังนี้

สมการที่ 2 สมดุลของแรงตามแนวแกน y ได้สมการดังนี้

สมการที่ 3 สมดุลของ moment รอบแกน z ในที่นี้เราใช้จุด a เป็นจุดหมุนได้สมการดังนี้


จากสมการที่ 3 หาค่า T ได้ดังนี้

เมื่อได้ค่า T จากนั้น หาค่า R และมุม จากสมการที่ 1 หรือ สมการที่ 2 แก้สมการ 3 ตัวแปรโดยใช้ 3 สมการได้ผลลัพธ์ดังนี้

จากตัวอย่างข้างต้นพอเข้าใจแนวทางการแก้ปัญหาเรื่องสมดุลกับบ้างแล้ว จากตัวอย่างโจทย์ที่แสดงไว้ทำให้เราสรุปได้ว่า โจทย์ปัญหาที่เราต้องเจอในห้องสอบซึ่งเป็นเพียงแค่โจทย์แบบ ระนาบ X-Y หรือ 2 มิติ จะมีตัวแปร หรือ แรงเข้ามาเกี่ยวข้อง อย่างมากที่สุดคือ 3 ตัว เพราะเรามีแค่ 3 สมการเท่านั้น เพื่อให้เข้าใจสภาพสมดุลมากขึ้น เราจะพิจารณาสมดุล ขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ต่อไป

Link น่าสนใจ