เรื่องเล่า

การแก้ปัญหาสมดุลของวัตถุ เมื่อมีโมเมนต์เข้ามาเกี่ยวข้อง

By Mr.Worathep Ghetthalea 8 พฤษภาคม 2552

จากครั้งก่อนเราได้พิจารณาสมดุลเมื่อแรงทุกแรงผ่านจุดหมุนไปแล้ว ทำให้เราใช้เพียงสมการ สมดุลของแรงตามแนว แกน x, y (2 มิติเท่านั้นหากแรงไม่ผ่านจุดหมุน จะทำให้วัตถุ หมุน เราจึงต้องนำเรื่อง Moment เข้ามาเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหา เรื่องสมดุลด้วย โดยมีสมการเข้ามาเกี่ยวข้องดังนี้

เพื่อให้เข้าใจความหมายของคำว่าสมดุล และการใช้งานสมการข้องต้นขอให้ พิจารณารูปการเล่นไม้กระตกข้างล่างนี้ โดยมี z เป็นจุดหมุนของระบบจากนั้น เราจะมาสรุปแนวทางการแก้ปัญหาลักษณะแบบนี้ ต่อไป

Source:Physics for Science and Engineer

กำหนดให้ คุณพ่อมีมวล mf,ลูกสาว มีมวล md,ไม้กระดกมีมวล M,แรง n ตรงตำแหน่งจุดหมุน z จะมีค่าเท่าใด หาได้โดยอาศัยสมการสมดุลของแรง ในแนวแกน y ต้องเป็นศูนย์ กำหนดให้แรงที่มีทิศขึ้นเป็นบวก จะหาแรง n ได้ดังนี้

จากค่า n ที่ได้ ย้ำอีกครั้งว่าเราใช้แนวคิดเรื่อง สมดุลของแรงตามแนวแกน y ต้องเป็นศูนย์ หากถามว่าทำไมต้องเป็นศูนย์ด้วย เป็นค่าอื่นได้ไหม ตอบว่าไม่ได้ หากเป็นค่าอื่นๆ นอกจากศูนย์ก็ไม่สามารถเรียกได้ว่า สมดุล แต่จะไปเกี่ยวข้องกับเรื่องการเคลื่อนที่ของวัตถุ (วัตถุในขณะนี้คือ ไม้กระดก,คุณพ่อและลูกสาว)เมื่อมีการเคลื่อนที่เนื่องจากแรงมากระทำ(ในทิศทางขึ้นหรือไม่ก็ลง ตามแกน y ) วัตถุจะเคลื่อนที่แบบมีความเร่ง สมการ F=ma ก็จะเข้ามาเกี่ยวข้อง ในที่นี้ F หาได้จากผลรวมของแรงทั้งหมดที่กระทำกับระบบ

ถึงแม้ว่าระบบข้างต้นจะสมดุล ตามแนวแกน x (ไม่มีแรงกระทำตามแนวแกน x )และสมดุลตามแนวแกน y (ระบบไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวแกน y )แต่เนื่องจาก มีแรงของระบบ คือ mf และ md ซึ่งแนวของแรงไม่ผ่านจุดหมุนทำให้เราต้องพิจารณา ผลรวมของ moment รอบแกน z เข้ามาเกี่ยวข้องด้วย

พิจารณาสมดุลต่อการหมุนของระบบ ตามแนวแกน z โดยกำหนดให้ การหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จะได้ความสัมพันธ์ ของ ระยะทาง A และ B ได้ดังนี้

เนื่องจากน้ำหนักของ ไม้กระดก และแรง n ผ่านจุดหมุน ทำให้ moment ที่เกิดจากแรงทั้งสองนี้เป็นศูนย์ จึงไม่นำมาพิจารณา จากรูปข้างต้น จะเกิดสมดุลต่อการหมุน เมื่อระยะ A และ B มีความสัมพันธ์กันตามผลที่ได้ข้างต้น

เราเรียกระบบว่าอยู่ในสภาวะสมดุลเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขดังนี้

1.สมดุลต่อการเลื่อนตำแหน่ง ซึ่งต้องมีเงื่อนไขคือ

2.สมดุลต่อการหมุน ซึ่งต้องมีเงื่อนไขคือ

แต่หากเราพิจารณาเพียงแค่ 2 มิติหรือในระนาบ xy แล้วหละก็ คงเหลือเงื่อนไขเพียงสมดุลของแรงในแนวแกน x,แนวแกน y และสมดุลของ moment รอบแกน z หรือคงเหลือสมการเพียง 3 สมการดังนี้

ดังนั้นการแก้ปัญญาเรื่องสมดุลในระนาบ xy จะต้องพิจารณาว่าเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสามข้อนี้ ถึงตรงนี้คิดว่า คงเข้าใจคำว่า สมดุล กันแล้วนะครับขอเน้นย้ำว่าหากวัตถุอยู่นิ่งและมีสภาพสมดุลของแรงแล้วหละก็ วัตถุก็จะอยู่นิ่งเช่นนั้นตลอดไป หากวัตถุกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ และมีสภาพสมดุลของแรงแล้วหละก็ วัตถุจะ เคลื่อนที่แบบไม่มีความเร่งหรือ ด้วยความเร็วคงที่ตลอดไป

เราจะนำสมการสมดุล 3 สมการนี้มาใช้แก้ปัญหาเป็นตัวอย่างดังรูปต่อไป

Source:Physics for Science and Engineer

กำหนดให้ แผ่นไม้มีน้ำหนัก 200N ผู้ชายมีน้ำหนัก 600N อยากทราบว่าแรงที่กำแพงกระทำต่อแผ่นไม้เป็นเท่าใด ( กำหนดให้เป็น R ) เมื่ออยู่ในสภาพสมดุลเริ่มต้นด้วยการเขียน free body diagram เพื่อหาแรง R แต่เนื่องจากเราไม่รู้ว่าแรง R มีขนาดเท่าใด มีทิศทางอย่างไร สิ่งที่เรากำหนดขึ้นจึงเป็นเพียงการสมมุติเท่านั้น ดังรูปด้านล่างนี้

Source:Physics for Science and Engineer

จาก free body diagram ทำให้เรามีตัวแปรที่ต้องการทราบค่า คือ R, T และรวมแล้วจำนวน 3 ตัว ดังนั้นเราจึงต้องการ 3 สมการจึงจะแก้ปัญหาข้อนี้ได้ แล้ว สมการที่เราต้องการ 3 สมการนั้นคืออะไร มาจากไหน ตอบว่าก็มาจากข้อสรุปที่เราได้จากข้างต้นดังนี้

โดยใช้ข้อตกลงสำหรับเครื่องหมาย บวก และ ลบ คือให้แรงที่มีทิศทางตามแนวแกน +x และทิศทางตามแนวแกน +y มีค่าเป็นบวก และกำหนดให้ moment ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นจึงทำการแตกแนวแรงไปตามทิศทางแกน x และ แกน y ได้ดังรูปข้างล่าง

Source:Physics for Science and Engineer

สมการที่ 1 สมดุลของแรงตามแนวแกน x ได้สมการดังนี้

สมการที่ 2 สมดุลของแรงตามแนวแกน y ได้สมการดังนี้

สมการที่ 3 สมดุลของ moment รอบแกน z ในที่นี้เราใช้จุด a เป็นจุดหมุนได้สมการดังนี้

จากสมการที่ 3 หาค่า T ได้ดังนี้

เมื่อได้ค่า T จากนั้น หาค่า R และมุม จากสมการที่ 1 หรือ สมการที่ 2 แก้สมการ 3 ตัวแปรโดยใช้ 3 สมการได้ผลลัพธ์ดังนี้

T = 313 N

R = 580 N

จากตัวอย่างข้างต้นพอเข้าใจแนวทางการแก้ปัญหาเรื่องสมดุลกับบ้างแล้ว และขอบอกว่า ในระดับ ม.ปลาย จะมีตัวแปรไม่ทราบค่าอย่างมากที่สุดคือ 3 ตัว เพราะเรามีแค่ 3 สมการ หรือพูดว่า 3 สมการ 3 ตัวแปร ไม่เกินไปจากนี้แน่นอน จะขอยกตัวอย่าง เรื่องสมดุล ให้ดูเป็นตัวอย่างอีกครั้งในคราวต่อไป